Afif Fatan: Januari 2016

Diskrit dan Kontinu

Kedisktritan suatu sistem dapat dilihat dari perubahan keadaan sistem dari waktu ke waktu. Jika perubahan keadaan yang terjadi hanya pada waktu tertentu, bukan pada setiap titik waktu, maka dikatakan sistem diskrit. Dalam hal lain dikatakan sistem kontinu.

Dalam membuat suatu simulasi, harus sesuai dengan perilaku sistem. Dari sistem diskrit, akan dijumpai variabel diskrit, untuk sistem kontinu, akan dijumpai variabel kontinu. Contoh mendapatkan variabel diskrit dengan menghitung jumlah produk cacat, jumlah sumber daya manusia, jumlah mesin yang dibutuhkan. Contoh mendapatkan variabel kontinu dengan menggunakan alat ukur, berat kemasan, tekanan udara, waktu antar kedatangan, waktu proses.

Dari variabel diatas didapatlah data pengamatan, tidak hanya sifatnya yang harus kita ketahui, tetapi pola penyebarannya juga harus kita ketahui, maka kita pelajari mengenai pola distribusinya. Agar simulasi yang kita lakukan nantinya sesuai dengan keadaan yang sebenarnya.

Pendugaan Pola Distribusi

Kita perlu mengetahui pola distribusi dari data pengamatan, sehingga pada saat melakukan simulasi nantinya, pola distribusi variabel acak yang diambil akan sesuai dengan pola distribusi data yang sebenarnya.

Ada beberapa cara yang bisa ditempuh :

Ringkasan Statistik

a. Beberapa distribusi dapat dikarakteristikan paling tidak oleh ringkasan statistik datanya. Dari ringkasan ini dapat diketahui keluarga distribusinya. Nilai-nilai pemusatan merupakan besaran statistik yang cukup penting guna menduga keluarga distribusi. Mean (

) dan median (

) misalnya, pada distribusi kontinu jika nilainya sama, maka dapat dipastikan bahwa kurva distribusi berbentuk simetris.

b. Koefisien varian (

) juga mempunyai peranan yang penting dalam menduga keluarga distribusi. Untuk nilai koefisien varian 1(satu) maka dapat diduga data berdistribusi eksponensial, jika lebih besar atau lebih kecil dari satu maka dugaan mengarah kepada ditribusi Gamma.

c. Untuk distribusi diskrit, maka dari nilai rasio lexis (

) dapat diduga distribusinya. Jika nilai rasio lexis = 1 dugaan berdistribusi poisson, Jika nilai rasio lexis < 1 dugaan berdistribusi Binomial dan Jika nilai rasio lexis > 1 dugaan berdistribusi binomial negatif.

d. Kelandaian distribusi (Skewness)

Rumus Skewness =

. Untuk distribusi simetris, skewness bernilai 0(nol), jika, skewness > 0 distribusi akan menjulur kekanan dan sebaliknya ke kiri. Misal nilai skewness = 2 berarti data berdistribusi eksponensial.

Histogram dan Grafik Garis

Dari bentuk histogram data, maka memcerminkan pola distribusinya.

Distribusi Kontinu

Distribusi Kontinu memiliki sifat kontinu, data yang diamati berjalan secara berkesinambungan dan tidak terputus.

Distr probabilitas uniform kontinu

Uniform

Probability density function

Using maximum convention

Cumulative distribution function
Parameters	$a,b \in (-\infty,\infty) \,\!$
Support	$a \le x \le b \,\!$
Probability density function (pdf)	$\begin{matrix} \frac{1}{b - a} & \mbox{for }a \le x \le b \\ \\ 0 & \mathrm{for}\ x<a\ \mathrm{or}\ x>b \end{matrix} \,\!$
Cumulative distribution function (cdf)	$\begin{matrix} 0 & \mbox{for }x < a \\ \frac{x-a}{b-a} & ~~~~~ \mbox{for }a \le x < b \\ 1 & \mbox{for }x \ge b \end{matrix} \,\!$
Mean	$\frac{a+b}{2} \,\!$
Median	$\frac{a+b}{2} \,\!$
Mode	any value in $[a,b] \,\!$
Variance	$\frac{(b-a)^2}{12} \,\!$
Skewness	$0 \,\!$
Excess kurtosis	$-\frac{6}{5} \,\!$
Entropy	$\ln(b-a) \,\!$
Moment-generating function (mgf)	$\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)} \,\!$
Characteristic function	$\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)} \,\!$

Contoh

Pada suatu sentra telpon ternyata distribusi pelayanan telponnya berdistribusi uniform kontinu dengan minimal waktu 3 menit dan maksimal 5 menit.

Distribusi Normal

Distribusi Normal merupakan model yang baik untuk mendekati frekuensi dari fenomena alam dan sosial jika sampelnya besar.

Normal

Probability density function

The green line is the standard normal distribution

Cumulative distribution function Colors match the image above
Parameters	$μ$ location (real) $σ 2 > 0$ squared scale (real)
Support	$x \in\mathbb{R}\!$
Probability density function (pdf)	$\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!$
Cumulative distribution function (cdf)	$\frac12 \left(1+\mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!$
Mean	$μ$
Median	$μ$
Mode	$μ$
Variance	$σ 2$
Skewness	0
Excess kurtosis	0
Entropy	$\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!$
Moment-generating function (mgf)	$M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$
Characteristic function	$\chi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$

Dengan X : Nilai tengah dari kelas distribusi

: nilai rata rata

: simpangan baku

Contoh :

Curah hujan yang tercatat di stasiun Pengamatan Cuaca Tanjung Selor Kalimantan Timur selama 10 tahun terakhir rata-rata mencapai 2800 mm/th dengan simpangan baku 75 mm/th. Bila curah hujan mengikuti distribusi normal, hitunglah probabilitas curah hujan kurang dari 2675 mm/th atau lebih dari 2900 mm/th !

Distribusi Binomial

Ciri-ciri :

- Setiap percobaan hasilnya dapat dibedakan dalam 2 macam kejadian: berhasil (probabilitas dinyatakan dengan notasi p) atau tidak berhasil (probabilitas dinyatakan dengan notasi q = 1 – p )

- Masing-masing percobaan merupakan peristiwa yang bersifat bebas yaitu peristiwa yang satu tidak mempengaruhi peristiwa yang lain.

Binomial

Probability mass function

The lines connecting the dots are added for clarity

Cumulative distribution function Colors match the image above
Parameters	$n \geq 0$ number of trials (integer) $0\leq p \leq 1$ success probability (real)
Support	$k \in \{0,\dots,n\}\!$
Probability mass function (pmf)	${n\choose k} p^k (1-p)^{n-k} \!$
Cumulative distribution function (cdf)	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!$
Mean	$np\!$
Median	one of $\{\lfloor np\rfloor-1, \lfloor np\rfloor, \lfloor np\rfloor+1\}$
Mode	$\lfloor (n+1)\,p\rfloor\!$
Variance	$np(1-p)\!$
Skewness	$\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}\!$
Excess kurtosis	$\frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}\!$
Entropy	$\frac{1}{2} \ln \left( 2 \pi n e p (1-p) \right) + O \left( \frac{1}{n} \right)$
Moment-generating function (mgf)	$(1-p + pe^t)^n \!$
Characteristic function	$(1-p + pe^{it})^n \!$

Contoh :

Menurut penelitian, probabilitas seseorang untuk sembuh dari penyakit anthrax yang diberi obat tertentu sebesar 60 %. Jika diambil 10 orang yang terjangkit secara acak, hitunglah probabilitas tidak lebih dari 2 orang sembuh.

Ditanya P( X ≤ 2 ) = P(X=0) + P(X=1) + P(X= 2)

DAFTAR PUSTAKA

http://santrimbelink.blogspot.co.id/2012/07/distribusi-probabilitas-diskrit-dan.html?m=1

http://www.statistikdasar.com/files/materi/konsep_distribusi_peluang_kontinu.pdf&sa=U&ved=0ahUKEwi79pjale3JAhWSkl4KHaODABw4ChAWCA4wAA&usg=AFQjCNHyxel9-4cT2dDtMPz6uy73WVJd0g

Afif Fatan

Selasa, 19 Januari 2016

DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINU